Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung - download pdf or read online

By Friedrich Wille

ISBN-10: 3322947653

ISBN-13: 9783322947659

ISBN-10: 3519027534

ISBN-13: 9783519027539

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem challenge: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen intestine, die in großer Vielzahl auf ihn ein­ stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die research hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage­ stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe­ griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri­ schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau­ bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren research hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor­ suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit ein neuer Weg beschritten wird.

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Setzt man in fex) eine Zahl x =Xo ein, die in der Nähe einer zu erwartenden Lösung liegt, z. B. Xo = 0,7, so wird i. allg. Xo 01= f (xo) sein, doch hofft man, daß der Unterschied I Xo - f(xo)1 klein ist. Mit Xo = 0,7 folgt z. B. f(xo)': 0,77801167 =XII). 6) Dieser Wert scheint nach Fig. 1 dichter an der zu erwartenden Lösung zu liegen als Xo = 0,7. Wir probieren es mit ihm daher nochmals: f(xd,: 0,79750937 =X2' Schon besser, kann man da nur sagen. Also probieren wir es noch einmal: f(X2)': 0,80376848 =X3' In dieser Weise fahren wir fort.

Be z eie h nun gen. Jede Lösung von x = fex) wird Fix P unk t von f genannt, da f den Lösungspunkt x auf sich selbst abbildet, ihn also "fest" läßt. Ferner bezeichnet man jede lipschitz-stetige Abbildung f mit einer lipschitz-Konstanten K < I als K 0 n t r akt ion. 8) um in I f(xd - f(X2)I';;;K lXI - X21, und berücksichtigt K < 1, so folgt: Der Abstand I f(xI) - f(X2) I ist kleiner als der Ab· stand I XI - X21, f "zieht" also den Abstand IXI - X21 gewissermaßen "zusammen". 1. 9) gegebenen Zahlen xo, XI, X2, ...

27) 5,10,15,20, ... , 5 n, .. 28) und untersuchen sie auf Konvergenz. Für die erste Folge vermutet man den Grenzwert 1 und schätzt ab n 2 n+2 1an - 11 = 1 - - - 1 1= - - < n+2 Also konvergiert {an} gegen 1, d. h. lim an man sich leicht überlegt. n.... j, O. = 1. j, 0 ansieht. Insbesondere ist für Schulen dieser Weg zu empfehlen. Um mit konvergenten Folgen arbeiten zu können, werden einige Eigenschaften und Rechenregeln bewiesen. 2 Jede konvergente Folge besitzt genau einen Grenzwert. 2 Konvergente Folgen 47 Be w eis.

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Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung by Friedrich Wille


by Michael
4.0

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